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量子计算理论基础与软件系统

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任课教师：卢丽强

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https://note.hobbitqia.cc/Quan/

量子态与量子门

量子计算机的 DiVincenzo 判据

1. 具有可操控的量子比特，并具有可扩充性
2. 能够将量子比特的状态初始化为简单基准状态（\(|0\rangle\) or \(|1\rangle\)）
3. 具有长相干退相干时间（在量子比特消亡前完成计算）
4. 具有一组通用量子门
5. 能够测量特定量子比特（完成量子信息到经典信息的转换）

量子态

经典比特具有 0 和 1 两种状态，而量子比特具有 \(|0\rangle\) 和 \(|1\rangle\) 两种基态，且可以这之外的状态：表示为基态的线性组合 \(|\varphi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle\)

任意两个单位正交基都可以作为量子态的基矢态，如另一组常用的单位正交基为 \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)\) 和 \(|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)\)

\(|0\rangle\) 和 \(|1\rangle\) 可以用向量形式表示，即 \(|0\rangle = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\)，\(|1\rangle = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\)，则 \(|\varphi\rangle = \begin{pmatrix}\alpha \\ \beta\end{pmatrix}\)，此时 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 称为复系数（振幅）

内积

当我们测量量子态时，会发生量子态的坍缩（又称为量子态的投影），得到 \(|0\rangle\) 的概率为 \(|\alpha|^2\)，得到 \(|1\rangle\) 的概率为 \(|\beta|^2\)，且有 \(|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\)（归一化条件）

量子比特的状态用二维复向量空间中的向量表示时，其表示必须满足以下性质：

1. 欧几里得范数为 1，即 \(\langle \varphi|\varphi\rangle = 1\)，其中 \(\langle \varphi|\) 是 \(|\varphi\rangle\) 的共轭转置
2. 向量的各分量为复数

量子比特的几何表示

Bloch 球可以可视化单个量子比特的状态，由极坐标可得到某个量子态 \(|\varphi\rangle = c_0 |0\rangle + c_1 |1\rangle\)，系数可表示为 \(c_0 = \cos(\theta/2)\)，\(c_1 = e^{i \phi}\sin(\theta/2)\)，\(\theta\) 和 \(\phi\) 视为球坐标系中的分量，即该量子态表示为 Bloch 球上的某个点

张量积

张量积将两个向量空间的向量合并成一个更大的向量空间，可表示为 \(|\varphi\rangle \otimes |\psi\rangle\)。张量积可以获得多个量子态的复合量子态。记 \(\varphi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle\)，\(|\psi\rangle = \gamma|0\rangle + \delta|1\rangle\)，则 \(|\varphi\rangle \otimes |\psi\rangle = \alpha\gamma|00\rangle + \alpha\delta|01\rangle + \beta\gamma|10\rangle + \beta\delta|11\rangle = \begin{pmatrix}\alpha\gamma \\ \alpha\delta \\ \beta\gamma \\ \beta\delta\end{pmatrix}\)

对于两个量子比特，其基态即为 00、01、10、11 四种状态，表示为 \(|00\rangle = |0\rangle \otimes |0\rangle\)，\(|01\rangle = |0\rangle \otimes |1\rangle\)，\(|10\rangle = |1\rangle \otimes |0\rangle\)，\(|11\rangle = |1\rangle \otimes |1\rangle\)，且双量子比特表示为 \(|\varphi\rangle = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle\)，其中 \(\sum |\alpha_{ij}|^2 = 1\)。

贝尔态

贝尔态是两个量子比特的重要纠缠态，定义为：

\(|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)\)

\(|\Phi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle - |11\rangle)\)

\(|\Psi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle + |10\rangle)\)

\(|\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle)\)

四个贝尔状态构成的集合称为贝尔基，任何两个量子比特的量子态向量都可以表示为贝尔基的线性组合。

单量子门

• 量子非门：

  • \(X = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\)
  • 即使 \(\varphi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle\) 经过非门处理后复系数互换，\(X|\varphi\rangle = \alpha|1\rangle + \beta|0\rangle\)
  • 易推知，单量子比特的任意量子门均可表示为 \(2 \times 2\) 的矩阵

• Hadamard 门：

  • \(H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\)
  • 当 H 门作用于 \(|0\rangle\) 和 \(|1\rangle\) 时，可得到叠加态：\(H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) = |+\rangle\)，\(H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle) = |-\rangle\)
• 泡利矩阵
  • 上面的量子非门 X 门也称为泡利 X 矩阵，另外还有泡利 Y 矩阵和泡利 Z 矩阵
  • \(Y = \begin{pmatrix}0 & -i \\ i & 0\end{pmatrix}\)，\(Z = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\)，对应的门分别称为 Y 门和 Z 门
  • 在 Bloch 球上，X、Y、Z 门分别对应绕 X、Y、Z 轴旋转 \(\pi\) 弧度

量子计算本质是酉矩阵计算，即只有酉矩阵才能作为量子门对应的矩阵——酉矩阵保证了其作用于量子态后得到的结果依旧是一个合法的量子态。N 比特量子门对应的矩阵为 \(2^N \times 2^N\) 的酉矩阵。

酉矩阵：酉矩阵的逆等于它的共轭转置

多量子门

先介绍两个概念

纠缠判定：如果一个多量子比特系统可以被分解为多个单量子比特的张量积，则该系统是可分的、无关的；否则是不可分的、纠缠的。

复合系统：量子比特可以做张量积，量子门也可以。对一个多量子比特系统施加量子门时可看作是该量子门分解后的结果施加于每个单量子比特上，最后再复合。

• CNOT 门（受控非门）
  • CNOT 门是一个两量子比特门，作用于控制量子比特和目标量子比特上，当控制量子比特为 \(|1\rangle\) 时，目标量子比特做非运算，否则保持不变
  • 矩阵表示为 \(CNOT = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\)
  • CNOT 门可以将两个量子比特纠缠起来，如 \(CNOT(H|0\rangle \otimes |0\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle) = |\Phi^+\rangle\)
• SWAP 门
  • SWAP 门是一个两量子比特门，作用于两个量子比特上，交换它们的状态
  • 矩阵表示为 \(SWAP = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
  • \(SWAP|00\rangle = |00\rangle\)，\(SWAP|01\rangle = |10\rangle\)，\(SWAP|10\rangle = |01\rangle\)，\(SWAP|11\rangle = |11\rangle\)
  • CSWAP 门是受控 SWAP 门，当控制量子比特为 \(|1\rangle\) 时，交换另外两个量子比特的状态，否则保持不变
• Toffoli 门（CCNOT 门）
  • Toffoli 门是一个三量子比特门，作用于两个控制量子比特和一个目标量子比特上，当两个控制量子比特均为 \(|1\rangle\) 时，目标量子比特做非运算，否则保持不变

量子隐形传态

100 年之内没人看得懂这几页 PPT

量子计算的并行性

判断 \(f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n\) 是平衡函数（\(f(x) = 0\) 的数量等于 \(f(x) = 1\) 的数量）还是常数函数（\(f(x) \equiv 0\) 或 \(f(x) \equiv 1\)），经典计算机需要计算 \(\frac{2^n}{2} + 1\) 次才能确定，而量子计算机只需一次。

Oracle: TBD

Oracle 电路简化

\(HH = I\)，\(XHX = Z\)，\((H \otimes H) CNOT_{low} (H \otimes H) = CNOT_{high}\)

状态空间演化和量子测量

量子态演化

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